По Вашим симптомам Сам ТНВД держит солярку,поэтому и заводится сразу

Потом он вырабатывает топливо до клапана в подкачке и начинает хватать воздух. Виновата подводка от бака до фильтра. В этом легко убедиться,поставив прозрачный шланг на подачу от фильтра к ТНВД и при заводке наблюдать..
Валера ,чуть опередил,пока я писал

--но ставить надо не на обратку,а на подачу от фильтра. Я не один раз с таким сталкивался

Обычно подсос бывает по трещинам в переходных шлангах--или к фильтру от бака,или от бака к трубке.